Могу ли я звонить и принимать звонки через Chat API в messengers?
Такая возможность на данный не предусмотрена Chat API, однако Вы можете принимать вебхуки о входящих звонках : type=call_log
Подробней ознакомиться с настройкой и работой с хуками можно здесь.
При этом:
[Call - miss_video] - это пропущенный видеозвонок
[Call - miss] - это пропущенный звонок